Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2017. Poniżej znajduje się arkusz maturalny z matematyki (matura poprawkowa podstawowa – sierpień 2017). Jest to arkusz interaktywny, co oznacza że możesz na nim zaznaczać odpowiedzi, otrzymując na koniec nie tylko wynik, ale także wskazanie poprawnych i błędnych odpowiedzi.
Egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy - czerwiec 2015 (termin dodatkowy) Planimetria Własności miarowe figur płaskich Miary kątów wewnętrznych pewnego trójkąta pozostają w stosunku 3:4:5. Najmniejszy kąt wewnętrzny tego trójkąta ma miaręA. $45^\circ$B. $90^\circ$C. $75^\circ$D. $60^\circ$ Podpowiedź: Oznacz miarę najmniejszego kąta trójkąta przez $3\alpha$.Wtedy pozostałe kąty mają miary $4\alpha $ i $5\alpha$, a suma miar kątów w trójkącie jest równa $180^\circ$. Rozwiązanie: Oznaczmy miarę najmniejszego kąta trójkąta przez $3\alpha$.Wtedy pozostałe kąty mają miary $4\alpha $ i $5\alpha$. Zatem$\begin{split}&3\alpha+4\alpha+5\alpha=180^\circ\\&12\alpha =180^\circ\Big/:4\\&3\alpha=45^\circ.\end{split}$ Odpowiedź:
Matura 2016 z matematyki (czerwiec), poziom rozszerzony - pełne rozwiązania wszystkich zadań, treści zadań, Zadania maturalne, 43727 Największy internetowy zbiór zadań z matematyki Baza zawiera: 19752 zadania, 1833 zestawy, 35 poradników
10 maja 2013 maturzyści piszą egzamin z matematyki na poziomie rozszerzonym. Tu znajdziecie arkusze egzaminacyjne i egzaminacyjny składa się z trzech grup zadań:1. grupa – zawiera od 20 do 30 zadań zamkniętych. Do każdego z tych zadań są podane cztery odpowiedzi, z których tylko jedna jest poprawna. Każde zadanie z tej grupy jest punktowane w skali 0 - 1. Zdający udziela odpowiedzi, zaznaczając je na karcie grupa – zawiera od 5 do 10 zadań otwartych krótkiej odpowiedzi punktowanych w skali grupa – zawiera od 3 do 5 zadań otwartych rozszerzonej odpowiedzi punktowanych w skali 0-4, albo 0-5, albo rozwiązanie wszystkich zadań zdający może uzyskać maksymalnie 50 oceniania arkuszy egzaminacyjnych1. Zadania otwarte w arkuszach egzaminacyjnych sprawdzają i oceniają egzaminatorzy powołani przez dyrektora okręgowej komisji Rozwiązania poszczególnych zadań oceniane są na podstawie szczegółowych kryteriów oceniania, jednolitych w całym Egzaminatorzy w szczególności zwracają uwagę na:• poprawność merytoryczną rozwiązań,• kompletność prezentacji rozwiązań zadań – wykonanie cząstkowych obliczeń i przedstawienie sposobu Ocenianiu podlegają tylko te fragmenty pracy zdającego, które dotyczą polecenia. Komentarze, nawet poprawne, nie mające związku z poleceniem nie podlegają Gdy do jednego polecenia zdający podaje kilka rozwiązań (jedno prawidłowe, inne błędne), to egzaminator nie przyznaje Za całkowicie poprawne rozwiązania zadań, uwzględniające inny tok rozumowania niż podany w schemacie punktowania, przyznaje się maksymalną liczbę Zapisy w brudnopisie nie są Zdający zdał egzamin maturalny z matematyki, jeżeli otrzymał co najmniej 30 proc. punktów możliwych do uzyskania za rozwiązanie zadań z arkusza dla poziomu Wynik egzaminu maturalnego z matematyki ustalony przez komisję okręgową jest potrzebne do zdania egzaminu maturalnego z matematyki na poziomie podstawowym:Działania na liczbach rzeczywistycha) planowanie i wykonanie obliczeń na liczbach rzeczywistych; w szczególności obliczenie pierwiastków, w tym pierwiastków nieparzystego stopnia z liczb ujemnych,b) badanie, czy wynik obliczeń jest liczbą wymierną,c) wyznaczanie rozwinięcia dziesiętne; znajdowanie przybliżenia liczb; wykorzystanie pojęcia błędu przybliżenia,d) stosowanie pojęcia procentu i punktu procentowego w obliczeniach,e) posługiwanie się pojęciem osi liczbowej i przedziału liczbowego; zaznaczanie przedziałów na osi liczbowej,f) wykorzystanie pojęcia wartości bezwzględnej i jej interpretacja geometryczna, zaznaczanie na osi liczbowej zbiorów opisanych za pomocą równań i nierówności typu: |x - a| = b, |x - a| > b, |x − a| < b ,g) obliczanie potęgi o wykładnikach wymiernych oraz stosowanie prawa działań na potęgach o wykładnikachwymiernych i rzeczywistych,h) maturzysta musi znać definicję logarytmu i stosować w obliczeniach wzorów na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym,2) wyrażenia algebraiczne:a) posługiwanie się wzorami skróconego mnożenia: (a ± b)2, (a ± b)3, a2 − b2, a3 ± b3,b) rozkładanie wielomianu na czynniki stosując wzory skróconego mnożenia, grupowanie wyrazów, wyłączaniewspólnego czynnika poza nawias,c) dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów,d) wyznaczanie dziedziny prostego wyrażenia wymiernego z jedną zmienną, w którym w mianowniku występują tylko wyrażenia dające się sprowadzić do iloczynu wielomianów liniowych i kwadratowych za pomocą przekształceń opisanych w punkcie b),e) obliczanie wartości liczbowej wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennej,f) dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych; skracanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych,3) równania i nierówności:a) rozwiązanie równań i nierówności kwadratowych; zapisanie rozwiązań w postaci sumy przedziałów,b) rozwiązanie zadania (również umieszczone w kontekście praktycznym), prowadzące do równań i nierówności kwadratowych,c) rozwiązanie układów równań, prowadzących do równań kwadratowych,d) rozwiązanie równań wielomianowych metodą rozkładu na czynniki,e) rozwiązanie prostych równań wymiernych, prowadzących do równań liniowych lub kwadratowych, rozwiązanie zadań (również umieszczonych w kontekście praktycznym), prowadzących do prostychrównań wymiernych,4) funkcje:a) określanie funkcji za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego,b) odczytanie z wykresu funkcji: dziedziny i zbioru wartości, miejsc zerowych, maksymalnych przedziałów, w których funkcja rośnie, maleje, ma stały znak,c) sporządzenie wykresu funkcji spełniającej podane warunki,d) na podstawie wykresu funkcji y = f (x) naszkicowanie wykresów funkcji y = f (x + a) , y = f (x) + a, y = −f (x) , y = f (−x) ,e) sporządzenie wykresów funkcji liniowych,f) wyznaczenie wzoru funkcji liniowej,g) wykorzystanie interpretacji współczynników we wzorze funkcji liniowej,h) sporządzenie wykresów funkcji kwadratowych,i) wyznaczenie wzoru funkcji kwadratowej,j) wyznaczenie miejsc zerowych funkcji kwadratowej,k) wyznaczenie wartości najmniejszej i wartości największej funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym,l) rozwiązanie zadania (również umieszczonego w kontekście praktycznym), prowadzącego do badania funkcji kwadratowej,m) sporządzenie wykresu, odczytanie własności i rozwiązanie zadań umieszczonych w kontekście praktycznym związanych z proporcjonalnością odwrotną,n) sporządzenie wykresów funkcji wykładniczych dla różnych podstaw i rozwiązanie zadań umieszczonych w kontekście praktycznym,5) ciągi liczbowe:a) wyznaczanie wyrazó ciągu określonego wzorem ogólnym,b) badanie, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny,c) stosowanie wzoró na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągugeometrycznego, również umieszczonych w kontekście praktycznym,6) trygonometria:a) wykorzystanie definicji i wyznaczenie wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych,b) rozwiązanie równań typu sinx=a, cosx=a, tgx = a , dla 0o < x < 90o,c) stosowanie prostych związkó między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego,d) znając wartość jednej z funkcji trygonometrycznych, wyznaczanie wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego,7) planimetria:a) korzystanie ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu,b) wykorzystanie własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych w kontekście praktycznym,c) znajdowanie związków miarowych w figurach płaskich, także z zastosowaniem trygonometrii, również w zadaniach umieszczonych w kontekście praktycznym,d) określenie wzajemnego położenie prostej i okręgu,8) geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej:a) wykorzystanie pojęcia układu współrzędnych na płaszczyźnie,b) podanie równanie prostej w postaci Ax + By + C = 0 lub y = ax + b , mając dane dwa jej punkty lub jeden punkt i współczynnik a w równaniu kierunkowym,c) badanie równoległości i prostopadłości prostych na podstawie ich równań kierunkowych,d) interpretowanie geometrycznie układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi,e) obliczanie odległości punktów na płaszczyźnie kartezjańskiej,f) wyznaczanie współrzędnych środka odcinka,g) posługiwanie się równaniem okręgu (x - a)2 + (y - b)2 = r2 ,9) stereometria:a) wskazanie i obliczanie kątó między ścianami wielościanu, między ścianami i odcinkami oraz między odcinkami takimi jak krawędzie, przekątne, wysokości,b) wyznaczanie związków miarowych w wielościanach i bryłach obrotowych z zastosowaniem trygonometrii, 10) elementy statystyki opisowej; teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka:a) obliczanie średniej arytmetycznej, średniej ważonej, mediany i odchylenia standardowego danych; interpretacja tych parametrów dla danych empirycznych,b) zliczanie obiektó w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych; stosowanie zasady mnożenia,c) wykorzystanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń,d) wykorzystanie własności prawdopodobieństwa i stosowanie twierdzenia znanego jako klasycznadefinicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw ofertyMateriały promocyjne partnera
Kiedy matura z geografii 2023. Geografia matura 2023 - data: 16 maja 2023 (wtorek), godz. 9:00 - termin główny. 23 maja 2023 (wtorek), godz. 10:35 - dodatkowe zadania dla klas dwujęzycznych. 14 czerwca 2023 (środa), godz. 9:00 - termin dodatkowy. Egzamin maturalny z geografii odbędzie się 16 maja 2023 roku we wtorek.
Liczby naturalne dwucyfrowe podzielne przez 6 to $12,18,24,\dots,96.$ Widać że liczby te są wyrazami ciągu arytmetycznego $\left(a_n\right)$, w którym $a_1=12, \ r=6.$Policzymy, którym z kolei wyrazem jest ostatni wyraz równy 96:$\begin{split}a_n&=96\\a_1+(n-1)r&=96\\12+(n-1)\cdot 6=96\\6n-6=96-12\\6n=90\\n=15.\end{split}$Liczb dwucyfrowych podzielnych przez 6 jest teraz ile jest wśród nich liczb podzielnych przez 9. Są to wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez 9 i przez 6. Zauważmy, że liczba jest podzielna przez 9 i przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 9 i jest podzielne przez 9 i przez 6, to liczby: $18,36,54, 72,90$.Zatem od 15 liczb podzielnych przez 6 odejmujemy 5 liczb podzielnych przez 6 i 9 i otrzymujemy $15-5=10.$
. 495 576 348 390 236 379 78 492
egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy czerwiec 2015 termin dodatkowy
